Andrea D'Agnolo
Controesempi
Grafico della funzione $$ z = \frac{x^2 y}{x^4 + y^2}, \qquad (x,y)\neq(0,0) $$ che, pur ammettendo limite nullo lungo tutte le direzioni radiali, non è prolungabile per continuità al punto $(0,0)$.
È tracciata in blu la curva sulla superficie ottenuta imponendo la condizione $y=x^2$.
Grafico della funzione $$ z = \frac{x y}{x^2 + y^2}, \qquad (x,y)\neq(0,0), $$ posta nulla all'origine. Questa, pur ammettendo entrambe le derivate parziali, non è differenziabile né continua nel punto $(0,0)$.
Si noti come la funzione sia costante nelle direzioni radiali. Sono tracciate in verde alcune rette sulla superficie ottenute imponendo la condizione $y=t x$.
Grafico della funzione $$ z = \sqrt[3]{xy^2} $$ che, pur essendo continua ed ammettendo tutte le derivate direzionali nel punto $(0,0)$, non è differenziabile.
Si noti come la funzione sia lineare nelle direzioni radiali. Sono tracciate in verde alcune rette sulla superficie ottenute imponendo la condizione $y=t x$.
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